Logaritmus v praxi aneb šachová kariéra z matematické perspektivy

 

Pár přátel se mi již ozvalo s dotazem, jestli neplánuji napsat další blog, že prý nemám čekat na další vyhraný Praha open OK, dokud se vám mé blogy líbí, budu psát… Protože se mi občas podaří odehrát excelentní turnaj, ale mé elo je pořád stejné, asi vás napadne, že tyto výsledky musím občas vykompenzovat nějakým šachovým výbuchem. Vás, milující pokoru a skromnost, ale musím zklamat, nebudu dnes psát o tom, jak jsem v Rakousku po haluzi uhrál pouhou půlku a jak jsem tím svému týmu nepomohl k ničemu než k dosažení sestupové příčky před posledním dvojkolem, ani o tom, jak jsem v posledním extraligovém trojkole udělal dvě hrubé chyby. Dnes vám nabídnu náhled na šachovou kariéru jinak, než jak jste o ní asi kdy přemýšleli. Vím, že středoškolská matematika nebude koníčkem většinové populace, ale nebojte se. Ani já ji nijak nehltal. Vždy mě zajímalo pouze to, co jsem dokázal použít v praxi. Takže zatímco jsem písemky z analytické geometrie vyplňoval jako malou násobilku, na integrální počet jsem chodil s tahákama po kapsách. V dalším textu se budu snažit být co nejvíce názorný a matematiku co nejvíce schovat, i když její přítomnost bude vždy dobře cítit.

 

Podobnost problémů

 

Je možné něco tak složitého jako je šachová kariéra vyjádřit jednoduchým matematickým vzorcem? Těžko. Nicméně můžeme vytvořit jednoduchý problém podobný tomu složitému, který bude mít jeho základní vlastnosti a přitom bude snadné ho matematicky popsat a neplavat tak ve zcela neznámém prostředí. A o tom bude můj dnešní blog. Řekneme si, proč je šachový růst podobný logaritmické funkci a hlavně, co z toho vyplývá.

 

Co je to logaritmus?

 

Pro ty, kteří slyší toto slovo poprvé asi nebude nic názornějšího než náhled na obrázek s grafem (získaný ze serveru matematika.navajo.cz). Logaritmus je inverzní funkcí k funkci exponenciální. Pokud ve vztahu a^y=x potřebujeme vypočítat hodnotu y, zjistíme ji takto: y=Log_a x.

 

Šachový růst a logaritmická křivka

 

Nyní si musíme definovat, který aspekt naší šachové kariéry náleží které vlastnosti logaritmické funkce. Začněmě tím, že v grafu nás zajímá pouze ta část pro x>1, kdy funkce vstupuje do kladných hodnot. Také nás funkce bude zajímat pouze pro a>1 (pokud o logaritmech nic nevíte, pak na toto klidně zapomeňte, protože jiný na obrázku znázorněn není). Nyní už ale přejděme k definici hodnot x, y a a.

 

a = talent (platí nepřímá úměra, čím menší a, tím větší talent. Pokud a=2,718281828, pak je váš talent zcela přirozený)

x = práce (čas na trénink, jeho efektivita, energie, praxe, zkrátka vše, co musíte pro úspěch udělat)

y = kvalita hry (není v elo, o definici jednotky by se musel postarat nějaký expert z MFF, čím je však y vyšší, tím lépe hrajeme. Jak jsem již řekl, mým úkolem není vyřešit složitý problém a odpovědět na každý složitý dotaz, ale vytvořit problém podobný, jednoduchý a názorný.)

 

 

Co z toho všeho plyne?

 

Čím větší talent (menší a) máme, tím více při stejném úsilí (x) dosáhneme. To je celkem logické, na to asi nemusíte logaritmovat, abyste si to uvědomovali, že? Teď si ale řekneme něco mnohem důležitějšího. Nazval bych to zákonem snižování efektivity tréninku. Kdyby v šachu nebyl tento problém, stačilo by k jednoduché definici problematiky kariérního růstu použít funkci lineární.

 

Teď trochu odbočíme a ukážeme si případ, kdy náš zisk bude (přibližně) lineární, abyste pochopili rozdíl. Řekněme, že jste podnikatel a prodáváte brambory. Pokud vypěstujete 10 tun brambor, budete mít zisk r. Pokud vypěstujete 20 tun, váš zisk bude (samozřejmě trochu zjednodušeně) 2 r. To není žádné překvapení, proč by taky měla mít druhá polovina brambor nižší tržní hodnotu než ta první?

 

Šachy jsou ale jiné. Pokud neumíte hrát šachy (x=1), bude pro vás mít každá investovaná hodina obrovský význam a své nešachové přátele brzy předběhnete. Čím víc ale budete šachy umět, tím menší hodnotu budou jednotlivé znalosti mít a předběhnete s nimi čím dál menší počet soupeřů. (např. po prvních 100 hodinách tréninku předběhnete 9 000 000 lidí v ČR, po dalších 100 hodinách už ale předběhnete dalších třeba jen 500 000 hráčů. A až se dostanete ještě výš, budete pracovat týdny a měsíce na tom, abyste se posunuli jen o pár příček nahoru. A až se budete jmenovat David Navara, už nebudete mít koho předběhnout.) To je vysvětlení, proč jsem pro znázornění šachové kariéry vybral právě logaritmickou křivku. Když se na ni pořádně podíváme, ta má největší nárust z kraje (velké navýšení kvality hry y začátečníka za malé množství práce x). S nabývajícími hodnotami x (s pokračujícím studiem) jde y (kvalita naší hry) nahoru pomaleji a pomaleji.

 

Bod zlomu, úbytek motivace a důležitý faktor talentu

 

Jak je to krásné, když nárust y (kvality hry) je rychlejší než nárust x (práce). Pracujete málo a vidíte, jak za vámi odpadají konkurenti. Práce je v tuto chvili radost. Jak ale tušíte, toto nepůjde donekonečna a bude už jenom hůř. Bodem zlomu nazývám okamžik, kdy zisk na kvalitě hry začne být menší než oběť, kterou musíte přinést. Matematicky není obtížné tento bod popsat, jedná se o bod, ve kterém je derivace funkce rovna 1 (neboli tečna křivky v tomto bodě svírá 45° s osou x). Když vás ošidím o krátký výpočet, zjistíte, že množství práce, po kterém se dostanete do bodu zlomu spočítáte jako

x = 1/ln a

přičemž ln je logaritmus o základě e= 2,718281828. Tady končí radost a začíná dřina. Určitě stojí za zmínění, že čím větší talent máte (se snižujícím a), tím víc se prodlužuje doba, kdy to jde „samo“. A i po přelezení bodu zlomu bude úhel tečny ke grafu ještě dlouho poměrně vysoký (40°, pak 35° atd…). Naopak netalentovaní po přelezení bodu zlomu okamžitě končí s jakýmkoliv seriózním zlepšováním, tečna jejich funkce se totiž rychle stává skoro rovnoběžnou s osou x a tedy se zlepšují už jen symbolicky.

 

Status quo mezi stejně talentovanými hráči

 

Často slyším kolem sebe, že někteří hráči stagnují, že už jim to nejde nahoru, že na šachy asi kašlou atp. Nutnost stagnace ale vyplývá z grafu. To, že se jedná o samozřejmý matematický jev ale neznamená, že z úst některých lidí takové řeči nejsou myšleny spíše jako pomluva nebo urážka… Pokud jsou dva stejně talentovaní hráči ve stejnou chvíli stejně silní (mají stejná a, x i y), pak platí, že čím menší je derivace v bodě x (neboli čím menší je úhel mezi osou x a tečnou k funkci v bodě x, neboli čím menší je její směrnice k), tím víc se jeden nadře, aby toho druhého výrazně předběhl. Směrnici tečny funkce v bodě x vypočítáme opět s pomocí derivace.

 

k = 1/x/ln a

 

Nyní se zamyslete, jaké k by pro vás bylo ještě přijatelné, abyste pokračovali v seriózní práci? Pro rekreačního hráče to bude třeba pro k>1, neboli dokud nedosáhne bodu zlomu. Pro ambiciózního hráče pak třeba pro k>0,5, což znamená, že je ochoten za dvě pracovní jednotky dostat jen jednu odměnu. Pouze pár fanatiků bude pokračovat v práci, pokud k<0,1, což zanmená, že za 10 pracovních jednotek nebudou odměněni ani jednou celou odměnou.

 

Příklad: Není nepravděpodobné, že konstantě k (směrnici tečny ke grafu v bodě x) zatím ještě příliš nerozumíte. Představte si, že pro k=1 (bod zlomu) svého nepracujícího rivala se stejným talentem a stenou současnou výkoností předběhnete o 200 elo bodů na 1000 hodin práce. To není tak hrozné. Nyní si ale představte, že oba v práci pokročíte dál, po 2000 hodinách budete pořád na stejné úrovni (oba samozřejmě na výrazně vyšší). Pokud váš rival přestane s prací až teď a vy budete pokračovat, váš zisk proti němu na elo za 1000 hodin už nebude zdaleka 200 bodů, ale pouze k*200 bodů. A pokud už je vaše k pouze 0,1, stojí vám těch 20 elo bodů na 1000 hodin práce za to? A co když je vaše k ještě menší?

 

Jak již bylo řečeno, supertalenti mají v tomto určitou výhodu, protože s klesajícím a (rostoucím talentem) klesá k pomaleji a oni na sobě vidí pokroky déle než ti netalentovaní.

 

Máme tedy na to?

 

Až se příště budeme ptát, zdali na to máme (Já s Dejvem na titul GM, jiní na tituly IM, FM, nebo MS, elo 1900,…), měli bychom si tuto otázku položit trochu komplexněji. Máme dostatečně nízké a (velký talent), abychom nemuseli na náš cíl makat 150 let? Kolik x (pracovního nasazení) můžeme a chceme našemu cíli obětovat? Pokud si na tyto dvě otázky umíme odpovědět, pak už stačí jen odhadnout, zdali

 

log_a x >= náš vytyčený cíl.

 

Děkuji za pozornost a omlouvám se těm, kteří se při podobné analýze spoléhají více na svou intuici než na vzorce a matematika prostě není jejich šálkem kávy. Intuice je zcela v pořádku a zde určitě i dostatečná, není ale na škodu zamyslet se občas i trochu jinak. Snažil jsem se logická fakta vysvětlovat hlavně slovně a matematiku uvádět pouze jako průvodní jev, jak se mi to ale povedlo, to musíte posoudit vy. Doufám, že v mém textu nebudete zase hledat gramatické chyby, na ty faktické ale budu zvědavý…